Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x1nx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)F（x）=ax²+f（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）過點A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）的切線，求切線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再求函數(shù)的“臨界點”，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出函數(shù)的最小值；
（2）先求出函數(shù)F（x）的定義域和導(dǎo)數(shù)F′（x），并對F′（x）進行化簡，再對a分類：a≥0時和a＜0時，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，下結(jié)論求出單調(diào)區(qū)間；
（3）先設(shè)切點坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率的坐標(biāo)公式，把A和切點的坐標(biāo)代入列出方程，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合此函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)唯一的零點，即是對應(yīng)方程的根x，代入f'（x）求出斜率，再代入點斜式方程化為一般式．
解答：（1）解：由題意得函數(shù)的定義域為（0，+∞），
且f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=．
∵當(dāng)x∈（0，）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)在（0，）上遞減，在和（，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x=時，函數(shù)取極小值，也最小值為f（x）_min=，
（2）由題意得F（x）=ax²+lnx+1，且定義域為（0，+∞），
F′（x）=2ax+=，
①當(dāng)a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞．
綜上，當(dāng)a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）設(shè)切點T（x，y），則y=xlnx，
又k_AT=f′（x），把A（-e^-2，0）代入得，
，即e²x+lnx+1=0，
設(shè)h（x）=e²x+lnx+1，且定義域為（0，+∞），h′（x）=e²+，
∴x＞0時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴函數(shù)h（x）最多只有一個零點，
即e²x+lnx+1=0最多只有一個根，
根據(jù)h（x）=e²x+lnx+1特點：①“使e²x為整數(shù)”，②“使lnx為整數(shù)”，
需要給x特殊值（取1或?qū)��?shù)底數(shù)的冪的形式）使h（x）=0，
易得h（）==0，
∴即為函數(shù)h（x）唯一的零點，也是對應(yīng)方程e²x+lnx+1=0唯一的實根，
由f'（x）=ln+1=-1得，k_AT=-1，
則所求的切線方程是y-0=-（x+e^-2），即．
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值關(guān)系，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義出求切線的方程，以及“超越方程”的根與函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化等綜合應(yīng)用，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)方法，易錯在求切線方程時，注意“在”和“過”某點的區(qū)別．