Question

設△ABC的三內角為A、B、C，且滿足4cos2

A

2

-cos2(B+C)=

7

2

（Ⅰ）求角A的大��；（Ⅱ）當|x|≤A時，求函數(shù)f(x)=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin2x的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形內角和把cos2（B+C）轉化成cos2A，把題設等式轉化成關于cosA的一元二次方程求得cosA，進而根據(jù)A的范圍求得A．
（Ⅱ） 根據(jù)x的范圍求出角2x-

π

3

的范圍，利用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)解析式為 

3

4

+

1

2

 sin（-

π

3

+2x），
求出sin（-

π

3

+2x）的范圍，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，∵A+B+C=π，∴4cos2

A

2

-cos2(B+C)=2+2cosA-cos2A 
=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，∴cosA=

1

2

，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（Ⅱ） 當x∈[-

π

3

，

π

3

]時，函數(shù)f(x)=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin2x=

3

4

+

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

3

4

+

1

2

 sin（-

π

3

+2x），由-π≤2x-

π

3

≤

π

3

，可得-1≤sin（-

π

3

+2x）≤

3

2

，
∴

3 -2

4

≤f（x）≤

3

2

，即函數(shù)的值域為[

3 -2

4

，

3

2

]．

點評：本題主要考查二倍角公式，兩角差的正弦公式的應用，根據(jù)x的范圍求出角2x-

π

3

的范圍以及sin（-

π

3

+2x）的范圍，
是解題的難點．