Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）試在線段AC上一點P，使得PF與CD所成的角是60°．

Answer 1

【答案】分析：（I）以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，進而求出直線AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得這兩個向量垂直，即AM∥平面BDE；
（2）求出平面ADF與平面BDF的法向量，利用向量夾角公式求出夾角，即可得到二面角A-DF-B的大�。�
（3）點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°，我們設(shè)出點P的坐標，并由此求出直線PF與CD的方向向量，再根據(jù)PF與CD所成的角是60°構(gòu)造方程組，解方程即可得到結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系
設(shè)AC∩BD=N，連接NE，
則點N、E的坐標分別是（、（0，0，1），
∴=（，
又點A、M的坐標分別是
（）、（
∴=（
∴=且NE與AM不共線，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴為平面DAF的法向量
∵=•=0，
∴=•=0得，∴NE為平面BDF的法向量
∴cos＜＞=
∴的夾角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°
（3）設(shè)P（x，x），，，則
cos=，解得或（舍去）
所以當點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°．（12分）
點評：本題考查的知識點是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線音質(zhì)夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法向量是解答本題的關(guān)鍵．