Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{e^x}-a}}{{{e^x}+a}}$（a＞0）
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線x-2y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤$\frac{1}{2}$x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）={（{\frac{{{e^x}-a}}{{{e^x}+a}}}）^′}=\frac{{2a{e^x}}}{{{{（{{e^x}+a}）}^2}}}$，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出a．
（Ⅱ）令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x$，則${g}^{'}（x）=\frac{-（{e}^{x}-a）^{2}}{2（{e}^{x}+a）^{2}}$≤0，從而函數(shù)y=g（x），x≥0為減函數(shù)，由此能求出當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）≤\frac{1}{2}x$恒成立時(shí)的a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）={（{\frac{{{e^x}-a}}{{{e^x}+a}}}）^′}=\frac{{2a{e^x}}}{{{{（{{e^x}+a}）}^2}}}$，
由題意得：$f'（0）=\frac{2a}{{{{（{1+a}）}^2}}}=\frac{1}{2}$，
解得a=1．…（5分）
（Ⅱ）令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}x$，
則$g'（x）=f'（x）-\frac{1}{2}={（{\frac{{{e^x}-a}}{{{e^x}+a}}}）^′}-\frac{1}{2}=\frac{{2a{e^x}}}{{{{（{{e^x}+a}）}^2}}}-\frac{1}{2}=\frac{{-{{（{{e^x}-a}）}^2}}}{{2{{（{{e^x}+a}）}^2}}}≤0$，
∴函數(shù)y=g（x），x≥0為減函數(shù)，∴當(dāng)x≥0時(shí)，$g（x）≤g（0）=\frac{1-a}{1+a}$…①
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，$\frac{1-a}{1+a}≤0$，∴當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）≤0，即$f（x）≤\frac{1}{2}x$．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由$g（0）=f（0）=\frac{1-a}{1+a}＞0$，這與題意不符合．
綜上所述，可知當(dāng)x≥0時(shí)，$f（x）≤\frac{1}{2}x$恒成立時(shí)的a的取值范圍為[1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．