Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意x∈（0，1）∪（1，e）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），都有$\frac{alnx}{x-1}$＞1（a＞0）恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）①x∈（0，1）時，問題轉(zhuǎn)化為即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（0，1）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍，②x∈（1，e）時，問題轉(zhuǎn)化為即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（1，e）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍，取交集即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，x＞0，
令f′（x）＞0，得x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）∵$\frac{alnx}{x-1}$＞1，∴$\frac{alnx-（x-1）}{x-1}$＞0，
①x∈（0，1）時，x-1＜0，則alnx＜x-1在（0，1）恒成立，
即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（0，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（0，1），則g′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
由（1）得：f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$在（0，1）遞減，
∴f（x）＞f（1）=0，∴g′（x）＞0，
g（x）在（0，1）遞增，
而$\underset{lim}{x→1}$$\frac{x-1}{lnx}$=$\underset{lim}{x→1}$$\frac{1}{\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{x→1}$x=1，
∴g（x）＜1，∴a≥1；
②x∈（1，e）時，x-1＞0，則alnx＞x-1，
即a＞$\frac{x-1}{lnx}$在（1，e）恒成立，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，x∈（1，e），則h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$，
由（1）得：f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$在（1，e）遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，∴h′（x）＞0，
h（x）在（1，e）遞增，
∴h（x）＜h（e）=e-1，
∴a≥e-1，
綜上，a≥e-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．