Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+m|+|2x+1|．
（Ⅰ）當(dāng)m=-1，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=-1，化簡(jiǎn)不等式，通過x的范圍，取得絕對(duì)值符號(hào)，求解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值的幾何意義求解函數(shù)的最值即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，不等式f（x）≤3，可化為|x-1|+|2x+1|≤3．
當(dāng)$x≤-\frac{1}{2}$時(shí)，-x+1-2x-1≤3，∴x≥-1，∴$-1≤x≤-\frac{1}{2}$；                （1分）
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜x＜1$時(shí)，-x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴$-\frac{1}{2}＜x＜1$；               （2分）
當(dāng)x≥1時(shí)，x-1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；                             （3分）
綜上所得，-1≤x≤1．（4分）
（Ⅱ）$f（x）=|{x+m}|+|{2x+1}|=|{x+m}|+|{x+\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|$（5分）
$≥|{（{x+m}）-（{x+\frac{1}{2}}）}|+|{x+\frac{1}{2}}|$（6分）
=$|{m-\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|$，當(dāng)且僅當(dāng)$（{x+m}）（{x+\frac{1}{2}}）≤0$時(shí)等號(hào)成立．（7分）
又因?yàn)?|{m-\frac{1}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|≥|{m-\frac{1}{2}}|$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立．（8分）
所以，當(dāng)$x=-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值$|{m-\frac{1}{2}}|$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值的幾何意義，考查函數(shù)的最值的求法．