Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為菱形，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A1B⊥B1C．
（1）求證：直線AC⊥直線BB1；
（2）若直線BB1與底面ABC成的角為60°，求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接AB1，

∵側(cè)面AA1B1B為菱形，

∴AB1⊥A1B，

又AB1與BC1相互垂直，AB1∩B1C=B1，

∴A1B⊥平面AB1C，

∴A1B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A1B=B，

∴AC⊥平面AA1B1B，

∵BB1平面AA1B1B，∴直線AC⊥直線BB1；

（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA1B1B，由B1作AB的垂線，垂足為D，則BD⊥平面ABC，

∴∠B1BA=60°，得D為AB的中點，

過A作DB1的平行線，交A1B1于E點，則AE⊥平面ABC，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，

則 為平面AB1B的一個法向量，

則B（2，0，0），C（0，2，0）， ，

設(shè)平面AB1B的法向量 ，

由 ，取x= ，得 ，

∴cos＜ ＞= ，

故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）連接AB1，由已知可得AB1⊥A1B，進(jìn)一步得到A1B⊥平面AB1C，可得A1B⊥AC，結(jié)合AC⊥AB，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面AA1B1B，則直線AC⊥直線BB1；（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA1B1B，由B1作AB的垂線，垂足為D，則BD⊥平面ABC，可得∠B1BA=60°，得D為AB的中點，過A作DB1的平行線，交A1B1于E點，則AE⊥平面ABC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，可得 為平面AB1B的一個法向量，再求出平面AB1B的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BB1﹣C的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．