Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若，求x₀的值．

Answer 1

解：（1）∵sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=sin2x+cos2x，
cos（2x-）=cos2xcos+sin2xsin=sin2x-cos2x，
∴
=（sin2x+cos2x）+（sin2x-cos2x）+（1+cos2x）
=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1
∴f（x）的最大值為2+1=3，最小正周期T==π；
（2）由（1）的解析式，得f（x₀）=2sin（2x₀+）+1=2
∴sin（2x₀+）=，可得2x₀+=2kπ+或2kπ+，（k∈Z）
∵x₀∈[0，]，得2x₀+∈[，]
∴當(dāng)2x₀+=時，x₀=0；當(dāng)2x₀+=時，x₀=．
綜上所述，x₀的值為0或．
分析：（1）利用和與差的三角函數(shù)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡，整理得f（x）=2sin（2x+）+1，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，即可得到f（x）的最大值和最小正周期；
（2）由由（1）的解析式，得sin（2x₀+）=，可得2x₀+=2kπ+或2kπ+（k∈Z），再結(jié)合已知條件x₀∈[0，]，即可得出x₀的值．
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最值、周期，并求特殊函數(shù)值對應(yīng)的自變量，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識，屬于中檔題．