Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A₁，A₂是實(shí)軸頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B（0，b）是虛軸端點(diǎn)，若在線段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)p₁（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構(gòu)成以A₁A₂為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　�。�

• A、（

  2

  ，+∞）
• B、（

  5 +1

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  5 +1

  2

  ）
• D、（

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線BF的方程為bx+cy-bc=0，利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合a＜b，即可求出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，F(xiàn)（c，0），B（0，b），則直線BF的方程為bx+cy-bc=0，
∵在線段BF上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構(gòu)成以線段A₁A₂為斜邊的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查離心率，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．