Question

已知：正數(shù)數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

2×3n+2

3n-1

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的最大項；
（2）設(shè)b_n=

an+p

an-2

，確定實常數(shù)p，使得{b_n}為等比數(shù)列；
（3）（理）數(shù)列{C_n}，滿足C₁＞-1，C₁≠

2

，C_n+1=

Cn+p

Cn+1

，其中p為第（2）小題中確定的正常數(shù)，求證：對任意n∈N*，有C_2n-1＞

2

且C_2n＜

2

或C_2n-1＜

2

且C_2n＞

2

成立．
（文）設(shè){b_n}是滿足第（2）小題的等比數(shù)列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析：（1）首先對數(shù)列{a_n}的通項公式進行變形，由an=2+

4

3n-1

分析a_n隨n的變化規(guī)律再結(jié)合n∈N^*即可獲得問題的解答；
（2）結(jié)合條件充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)：等比中項即可獲得含參數(shù)的方程，解方程即可獲得參數(shù)的值，最后要注意參數(shù)的驗證；
（3）對（理）首先結(jié)合（2）的結(jié)論對條件進行化簡，然后對化簡結(jié)果cn+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)結(jié)合結(jié)論進行化簡，
利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明對n∈N*，cn≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0，進而即可獲得問題的解答；
對（文）首先要結(jié)合p的取值不同進行分類討論，其中左邊利用等比數(shù)列的前n項和公式計算即可．注意下結(jié)論．

解答：解：（1）a_n=2+

4

3n-1

，隨n的增大而減小，
∴{a_n}中的最大項為a₁=4．
（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)•3n+(2-p)

4

，
{b_n}為等比數(shù)列
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0（n∈N*）
∴-（4-p²）•3ⁿ•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之當(dāng)p=2，b_n=3ⁿ時，{b_n}為等比數(shù)列；p=-2，b_n=1時，{b_n}為等比數(shù)列
∴當(dāng)且僅當(dāng)p=±2時，{b_n}為等比數(shù)列．
（3）（理）按題意c_n+1=

cn+2

cn+1

(c1＞-1，c1≠

2

)
∵c₁＞-1，c₂＞0，進而當(dāng)n≥2時，c_n＞0
c_n+1-

2

=

(1- 2 )cn+2- 2

cn+1

=

(1- 2 )(cn- 2 )2

cn+1

∵c₁≠

2

，
∴由數(shù)學(xué)歸納法，對n∈N*，c_n≠

2

，且(cn+1-

2

)(cn-

2

)=

(1- 2 )(cn- 2 )

cn+1

＜0
特別有(c2n-1-

2

)(c2n-

2

)＜0（n∈N*）
∴c_2n-1＞

2

且c_2n＜

2

或c_2n-1＜

2

且c_2n＞

2

．
（文）
若p=-2，則b_n=1（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010的n不存在；
若p=2，則b_n=3ⁿ（n∈N*）-b₁+b₂-+（-1）ⁿb_n≥2010?

(-3)[1-(-3)n]

1-(-3)

≥2010
等價于（-3）ⁿ-1＞2680，
等價于（-3）ⁿ＞2681，
∴n為偶數(shù)，∵3⁶=729，3⁸=6561
∴當(dāng)p=2時，n的最小值為8；當(dāng)p=-2時，滿足條件的n不存在．

點評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的思想、數(shù)學(xué)歸難的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會和反思．