【題目】如圖，在四棱柱中，底面為等腰梯形，，.平面平面，四邊形為菱形，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

方法一（幾何法）：（1）通過(guò)證明，證得平面，由此證得；（2）作出直線(xiàn)與平面所成角，利用兩角差的正切公式，求得線(xiàn)面角的正切值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.

方法二（向量法）：（1）取中點(diǎn)，連接，證得底面，由此以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算，證得.（2）由（1）計(jì)算出直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量，由此計(jì)算出與平面所成角的正弦值.

方法一、

（1）連接、，取中點(diǎn)，連接、.

∵等腰梯形中，，.

∴，.

又∵在菱形中，，∴.

又平面平面，交線(xiàn)為，∴底面.

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，.

∴底面，∴，

又∵，相交，∴平面，

∴.

（2）取中點(diǎn)，連接，，，，相交于點(diǎn)，連接，顯然平面平面.

∵平面，∴平面平面，∴平面平面，交線(xiàn)為，∴為與平面所成角.

∵，，

∴，∴由解得.∴與平面所成角的正弦值為.

方法二、

（1）取中點(diǎn)，連接.

∵四邊形為菱形，，∴.

又平面平面，交線(xiàn)為，∴底面.

以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

∴，

，

∴，∴.

（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，.

∴與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2019年11月5日至10日在上海國(guó)家會(huì)展中心舉行.它是中國(guó)政府堅(jiān)定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟(jì)全球化，主動(dòng)向世界開(kāi)放市場(chǎng)的重要舉措，有利于促進(jìn)世界各國(guó)加強(qiáng)經(jīng)貿(mào)交流合作，促進(jìn)全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，推動(dòng)開(kāi)放世界經(jīng)濟(jì)發(fā)展.某機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名不同性別的人員（男、女各50名）進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表：

男性

女性

合計(jì)

關(guān)注度極高

35

14

49

關(guān)注度一般

15

36

51

合計(jì)

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.9%的把握認(rèn)為對(duì)“進(jìn)博會(huì)”的關(guān)注度與性別有關(guān)；

（2）若從關(guān)注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況，再?gòu)?/span>7人中任意選取2人談?wù)勱P(guān)注“進(jìn)博會(huì)”的原因，求這2人中至少有一名女性的概率.

附：.

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（理）在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)．

（1）探求多長(zhǎng)時(shí)，直線(xiàn)與平面成角；

（2）點(diǎn)移動(dòng)為棱中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

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（2）若點(diǎn)A在第一象限，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

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（1）若，，且為正方形，求該正方形的面積.

（2）若直線(xiàn)的方程為，和關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和，證明：.

（3）當(dāng)為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時(shí)，求，滿(mǎn)足的關(guān)系式.

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（1）若集合，求當(dāng)時(shí)，的值；

（2）若集合，證明：時(shí)集合的與時(shí)集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式，其中；

（3）對(duì)于（2）中集合.定義，求（用n表示）.

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（1）求曲線(xiàn)的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.

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