Question

已知線段AB的端點B在圓C₁：x²+（y-4）²=16上運動，端點A的坐標為（4，0），線段AB中點為M，
（Ⅰ）試求M點的軌C₂方程；
（Ⅱ）若圓C₁與曲線C₂交于C，D兩點，試求線段CD的長．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)出M和B的坐標，由中點坐標公式把B的坐標用m的坐標表示，代入圓C₁的方程得答案；
（Ⅱ）求出圓C₁的圓心坐標和半徑，求出圓心到直線CD的距離利用勾股定理得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），B（x′，y′），
則由題意可得：

x= x′+4 2 y= y′ 2

，解得：

x′=2x-4 y′=2y

，
∵點B在圓C₁：x²+（y-4）²=16上，
∴（x′）²+（y′-4）²=16，
∴（2x-4）²+（2y-4）²=16，即（x-2）²+（y-2）²=4．
∴軌跡C₂方程為（x-2）²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）由方程組

(x-2)2+(y-2)2=4 x2+(y-4)2=16

，解得直線CD的方程為x-y-1=0，
圓C₁ 的圓心C₁（0，4）到直線CD的距離為d=

|-4-1|

2

=

5 2

2

，
圓C₁ 的半徑為4，
∴線段CD的長為|CD|=2

42-( 5 2 2 )2

=

14

．

點評：本題考查了代入法求圓的方程，考查了直線和圓的關(guān)系，訓練了點到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．