【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F(xiàn),P,Q分別是BC,C1D1 , AD1 , BD的中點.

(1)求證:PQ∥平面DCC1D1
(2)求PQ的長;
(3)求證:EF∥平面BB1D1D.

【答案】
(1)證明:如圖所示,連接AC,CD1

∵P,Q分別為AD1、AC的中點,

∴PQ∥CD1,

∵CD1平面DCC1D1,PQ平面DCC1D1,

∴PQ∥平面DCC1D1


(2)解:由題意,可得:PQ= = a.


(3)證明:取CD中點G,連結(jié)EG、FG,

∵E,F(xiàn)分別是BC,C1D1的中點,

∴FG∥D1D,EG∥BD,

又FG∩EG=G,

∴平面FGE∥平面BB1D1D,

∵EF平面FGE,

∴EF∥平面BB1D1D


【解析】(1)連接AC,CD1 , 由P,Q分別為AD1、AC的中點,知PQ∥CD1 , 由此能夠證明PQ∥平面DCC1D1 . (2)利用(1)的結(jié)論,直接求解即可.(3)取CD中點G,連結(jié)EG、FG,由已知得平面FGE∥平面BB1D1D,由此能證明EF∥平面BB1D1D.

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