Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=60°，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PC．
（1）求證：PB⊥BC；
（2）求點(diǎn)D到平面PCB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由余弦定理求得AB=2

3

，由AB²+BC²=AC²，則AB⊥BC，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，得到BC⊥PA，即有BC⊥平面PAB，即可得證；
（2）設(shè)點(diǎn)D到平面PCB的距離為h，點(diǎn)F到平面BCD的距離是P點(diǎn)到平面BCD的距離的一半．V_F-BCD=V_D-BCF，
由棱錐的體積公式，即可求得．

解答： （1）證明：△ABC中，因?yàn)锳C=4，BC=2，∠ACB=60°，
所以AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos60°=16+4-2×4×2×

1

2

=12，
即有AB=2

3

，由AB²+BC²=AC²，則AB⊥BC，
又由PA⊥底面ABCD，得BC⊥PA，則BC⊥平面PAB，
故PB⊥BC；
（2）解：在△APC中，因?yàn)锳F⊥PC，F(xiàn)為PC之中點(diǎn)，
所以AP=AC=4，PC=4

2

，PB=2

7

，
設(shè)點(diǎn)D到平面PCB的距離為h，
且點(diǎn)F到平面BCD的距離是P點(diǎn)到平面BCD的距離的一半．即
點(diǎn)F到平面BCD的距離為

1

2

PA=2，又V_F-BCD=V_D-BCF，
即

1

3

（

1

2

PA•S_△BCD）=

1

3

S_△BCFh，即2×

1

2

×4×

3

2

=

1

2

×

1

2

×4

7

h，
可求得：h=

2 21

7

，
則點(diǎn)D到平面PCB的距離為

2 21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)和判定，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換，考查棱錐的體積運(yùn)算，屬于中檔題．