Question

已知α，β均為銳角，且cos（α+β）=

sinα

sinβ

，則tanα的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：直接對三角函數(shù)關(guān)系式中的角進(jìn)行恒等變換，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出結(jié)果．

解答： 解：知α，β均為銳角，且cos（α+β）=

sinα

sinβ

，
則cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
化簡為：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
轉(zhuǎn)化為：tan（α+β）=2tanβ，
即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanβ，
則：2tanαtan²β-tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1-8tan²α≥0，
解得：-

2

4

≤tanα≤

2

4

．
由于：α為銳角，
所以：0＜tanα≤

2

4

，
則tanα的最大值為

2

4

．
故答案為：

2

4

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式中角的恒等變換，弦化切在做題中得應(yīng)用，一元二次不等式有解得情況討論．