Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量

p

=（sinA，b+c），

q

=（a-c，sinC-sinB），滿足|

p

+

q

|=|

p

-

q

|．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）設(shè)

m

=（sin（C+

π

3

），

1

2

），

n

=（2k，cos2A） （k＞1），

m

•

n

有最大值為3，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件|

p

+

q

|=|

p

-

q

||可得，

p

•

q

=0，代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根據(jù)正弦定理，可化為a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，結(jié)合余弦定理a²+c²-b²=2acosB，代入可求：
（Ⅱ）先求

m

•

n

=2ksin（C+

π

3

）+

1

2

cos2A=2ksin（C+B）+

1

2

cos2A
=2ksinA+cos²A-

1

2

=-sin²A+2ksinA+

1

2

=-（sinA-k）²+k²+

1

2

（k＞1）．
結(jié)合0＜A＜

2

3

π，及二次函數(shù)的知識(shí)求解，

解答：解：（Ⅰ）由條件|

p

+

q

|=|

p

-

q

|，兩邊平方可得，

p

•

q

=0

p

=（sinA，b+c），

q

=（a-c，sinC-sinB），代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根據(jù)正弦定理，可化為a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，
即a²+c²-b²=ac，又由余弦定理a²+c²-b²=2acosB，所以cosB=

1

2

，B=60°．
（Ⅱ）

m

=（sin（C+

π

3

），

1

2

），

n

=（2k，cos2A）（k＞1），

m

•

n

=2ksin（C+

π

3

）+

1

2

cos2A=2ksin（C+B）+

1

2

cos2A
=2ksinA+cos²A-

1

2

=-sin²A+2ksinA+

1

2

=-（sinA-k）²+k²+

1

2

（k＞1）．
而0＜A＜

2

3

π，sinA∈（0，1]，故當(dāng)sinA=1時(shí)，m•n取最大值為2k-

1

2

=3，得k=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積極的坐標(biāo)表示，余弦定理解答三角形，及含參數(shù)的二次函數(shù)的最值的求解，屬于知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔試題．