Question

已知圓x²+y²=4上一定點(diǎn)A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程;

(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

（1）線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)²+y²=1.

（2）線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0

解析:

(1)設(shè)AP中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y).

∵P點(diǎn)在圓x²+y²=4上,∴(2x-2)²+(2y)²=4.

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)²+y²=1.

(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△PBQ中,

|PN|=|BN|,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連結(jié)ON,則ON⊥PQ,

所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²,

所以x²+y²+(x-1)²+(y-1)²=4.

故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0.