Question

拋物線的頂點在原點，它的準線過橢圓C：

x2

a2

+

y 2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，并與橢圓的長軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個交點為(-

2

3

，

2 6

3

)．
（1）求拋物線的方程和橢圓C的方程；
（2）若雙曲線與橢圓C共焦點，且以y=±

4

3

x為漸近線，求雙曲線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可設出拋物線的標準方程為y²=-2px（p＞0），代入點的坐標，即可解得p，得到拋物線方程，得到準線方程，即有橢圓的焦點坐標，再由a，b，c的關系和點滿足橢圓方程，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）由題意得到雙曲線的c=1，設出雙曲線方程，求出漸近線方程，得到a₁，b₁的方程組，解得即可．

解答： 解：（1）由題意可知拋物線開口向左，
故設拋物線的標準方程為y²=-2px（p＞0），
∵點(-

2

3

，

2 6

3

)在拋物線y2=-2px(p＞0)上，
∴(

2 6

3

)2=-2p•(-

2

3

)，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=-4x；
故準線方程為x=1，
∴橢圓C的右焦點坐標為（1，0），∴c=1，
由于點（-

2

3

，

2 6

3

）也在橢圓上，
則

4 9 a2 + 24 9 b2 =1 a2-b2=c2=1

解得，

a2=4 b2=3

．
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）因為雙曲線與橢圓C共焦點，
所以雙曲線的焦點也在x軸上，且c=1，
則設雙曲線的方程為

x2

a12

-

y2

b12

=1(a1＞0，b1＞0)，
由題意可知：

b1 a1 = 4 3 c2=a12+b12=1

，
解得

a12= 9 25 b12= 16 25

，
∴雙曲線的標準方程為

25x2

9

+

25y2

16

=1．

點評：本題考查圓錐曲線的方程和性質，主要考查雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程和運用，考查運算能力，屬于基礎題．