Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

3

+

x2

4

，g（n）=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*），若f′（x）≥g（n）當x∈（-∞，λ]時恒成立．
（Ⅰ）當n=1時，求不等式f′（x）≥g（n）的解集；
（Ⅱ）求實常數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的概念及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，運用二次不等式的解法，即可得到解集；
（Ⅱ）若f′（x）≥g（n）當x∈（-∞，λ]時恒成立，則x²+

1

2

x≥g（n）_max當x∈（-∞，λ]時恒成立．根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性，即可得到最大值，再解不等式，由集合的包含關系，即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）n=1時，g（1）=

1

2

，
f′（x）=x²+

1

2

x，
不等式f′（x）≥g（n）即為x²+

1

2

x≥

1

2

，
解得，x≥

1

2

或x≤-1．
則解集為{x|x≥

1

2

或x≤-1}；
（Ⅱ）若f′（x）≥g（n）當x∈（-∞，λ]時恒成立，
則x²+

1

2

x≥g（n）_max當x∈（-∞，λ]時恒成立．
而g（n）=（

1

2

）ⁿ，（n∈N^*）為遞減數(shù)列，
則n=1時取得最大值

1

2

，
則x²+

1

2

x≥

1

2

當x∈（-∞，λ]時恒成立．
即有（-∞，λ]⊆（-∞，-1]，
解得，λ≤-1．
則實常數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查導數(shù)的概念和運用，考查等比數(shù)列的單調(diào)性，考查二次不等式的解法，以及不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為最值問題，考查運算能力，屬于中檔題．