Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β（其中α＜β），函數(shù)．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）關(guān)于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β，a=1，可得，αβ=-1，故可求f（α）+f（β）的值；
（2）利用單調(diào)性的定義，設(shè)α＜x₁＜x₂＜β，則f（x₁）-f（x₂）=，可確定f（x₁）＜f（x₂），從而f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．
解答：（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的兩根為α，β，a=1，
∴，αβ=-1．（2分）
∴==-1（6分）
（2）證明：設(shè)α＜x₁＜x₂＜β，則
f（x₁）-f（x₂）=，
∵4+a（x₁+x₂）-4x₁x₂=-4αβ+2（α+β）（x₁+x₂）-4x₁x₂=2[（x₁-β）（α-x₂）+（x₁-α）（β-x₂）]＞0
而x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查根與系數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，掌握單調(diào)性的證題步驟是關(guān)鍵．