Question

如圖，四棱錐P-ABCD，底面^BCZ）是邊長為2的菱形，其中∠ADC=60°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=3，E是PD的中點(diǎn)
（I ）求證直線PB∥平面ACE
（II）求點(diǎn)P到平面ACE的距離；
（III）求二面角E-AC-D的大�。�

Answer 1

分析：以FC為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)P為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，在此坐標(biāo)系下，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)
（I ）求證直線PB∥平面ACE，只須證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且線不在面內(nèi)即可得出線面平行；
（II）求點(diǎn)P到平面ACE的距離，可求出此點(diǎn)與面內(nèi)一點(diǎn)邊線的線段對應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后求這個向量在平面的法向量上的投影，投影的長度即所求的點(diǎn)面距離；
（III）求二面角E-AC-D的大小，可求出兩個平面的法向量，再求出兩個向量夾角的余弦的絕對值，利用反三角函數(shù)表示出來即可．

解答：解：取AD的中點(diǎn)F，邊PF，F(xiàn)C，由于側(cè)面PAD垂直于底面ABCD，且PA=PD=3，底面ABCD是邊長為2的菱形，其中角ADC=60°
所以PF⊥面ABCD，F(xiàn)C⊥AD
以FC為x軸，F(xiàn)D為y軸，F(xiàn)P為z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示，則P（0，0，2

2

），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（

3

，0，0），E（0，

1

2

，

2

），由

AD

=

BC

得：B（

3

，-2，0），

AC

=（

3

，1，0），

AE

=（0，

3

2

，

2

）
設(shè)平面ACE的法向量為

n

=（x，y，z）則：

AC • n =0 AE • n =0

，即

3x +y=0 3 2 x+ 2z =0

得

n

=（-4，4

3

，-3

6

）
（I ）

PB

=（

3

，-2，-2

2

）故

PB

•

n

=-4

3

-8

3

+12

3

=0又PB不在面ACE內(nèi)，所以直線PB∥平面ACE．
（II）

AP

=（0，1，2

2

），故點(diǎn)P到平面AEC的距離是d=|

AP • n

n

|=

8 3

118

=

4 354

59

（III）取平面ACD的法向量為

m

=（0，0，1），設(shè)向量

m

，

n

的夾角為θ，則cosθ=|

m • n

| n || m |

|=

3 6

118

=

3 177

59

二面角E-AC-D的大小arccos

3 177

59

點(diǎn)評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面的法向量與線的方向向量，然后利用向量的知識判斷線面平行，求點(diǎn)到面的距離，及面與面所成的二面角，此是向量在立體幾何中的重要應(yīng)用，本題中涉及了基本的三個重要題型，此題也是高考考查的重要形式