Question

設命題p：對任意實數x，不等式x²-2x＞m恒成立；命題q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線，
（Ⅰ）若命題q為真命題，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）命題q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線，可得

m-3＞0 5-m＜0

，解得m即可．
（2）若命題p真，即對任意實數x，不等式x²-2x＞m恒成立，k可得m＜（x²-2x）_min，利用二次函數的單調性可得m＜-1．由p∨q為真命題，p∧q為假命題，可得p真q假，或p假q真．

解答： 解：（1）命題q：方程

x2

m-3

+

y2

5-m

=1表示焦點在x軸上的雙曲線，
則

m-3＞0 5-m＜0

，解得m＞5．
即命題q為真命題時，實數m的取值范圍是m＞5；
（2）若命題p真，即對任意實數x，不等式x²-2x＞m恒成立，
∴m＜（x²-2x）_min，∵（x-1）²-1≥-1，
∴m＜-1．
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，則

m＜-1 m≤5

，解得m＜-1；
如果p假q真，則

m≥-1 m＞5

，解得m＞5；
所以實數m的取值范圍為m＜-1或m＞5．

點評：本題考查了簡易邏輯的判定、雙曲線的標準方程、二次函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．