Question

已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx-cos²ωx+（ω＞0，x∈R）的最小正周期為．
（1）求f（）的值，并寫出函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)x∈[，]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

解：f（x）=sinωxcosωx-cos²ωx+
=sin2ωx- cos2ωx
=sin（2ωx-），
（1）∵函數(shù)的最小正周期為，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-），
∴f（）=sin（-）=sin=1，
令4x-=kπ，
解得x=，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為（，0）（k∈Z）
（2）當(dāng)x∈[，]時(shí)，4x-∈[，]
∵當(dāng)4x-∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)
∴當(dāng)x∈[，]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[，]．
分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)f（x）的最小正周期公式即可求出ω的值；進(jìn)一步求出函數(shù)值及對(duì)稱中心．
（Ⅱ）先求出整體角的范圍，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+，2kπ+]得到定義域內(nèi)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
點(diǎn)評(píng)：本題考查解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題，應(yīng)該先利用三角函數(shù)的有關(guān)的公式將函數(shù)化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，進(jìn)而求出ω，確定出f（x）的解析式是本題的突破點(diǎn)，然后利用整體角處理的方法求出函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．