設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，又設(shè)Tn=
Sn
Sn+1
，n=1，2，…．求
lim
n→n
Tn．
分析：當(dāng)公比q滿足0＜q＜1時(shí)，Sn=
1-qn
1-q
，Tn=1．當(dāng)公比q=1時(shí)，Sn=n，Tn=
Sn
Sn+1
=
n
n+1
．
lim
n→∞
Tn=1．當(dāng)公比q＞1時(shí)，Sn=
qn-1
q-1
，Tn=
qn-1
qn+1-1
，
lim
n→∞
Tn=
1
q
．綜合以上討論，可以求得
lim
n→∞
Tn的值．
解答：解：當(dāng)公比q滿足0＜q＜1時(shí)，
Sn=1+q+q2+…+qn-1=
1-qn
1-q
，于是Tn=
Sn
Sn+1
=
1-qn
1-qn+1
=
1-0
1-0
=1．
當(dāng)公比q=1時(shí)，Sn=1+1+…+1=n，于是Tn=
Sn
Sn+1
=
n
n+1
．
因此
lim
n→∞
Tn=
lim
n→∞
n
n+1
=
lim
n→∞
1
1+
1
n
=1
當(dāng)公比q＞1時(shí)，Sn=1+q+q2+…+qn-1=
qn-1
q-1

于是Tn=
Sn
Sn+1
=
qn-1
qn+1-1
．
因此
lim
n→∞
Tn=
lim
n→∞
qn-1
qn+1-1
=
1
q
lim
n→∞
1-(
1
q
)n
1-(
1
q
)n+1
=
1
q
．
綜合以上討論得到
lim
n→∞
Tn=
1(當(dāng)0＜q≤1時(shí))
1
q
(當(dāng)q＞1時(shí))
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的極限，解題時(shí)要分情況進(jìn)行討論，考慮問題要全面，避免丟解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，下面的表格內(nèi)的數(shù)值填寫規(guī)則如下：先將第1行的所有空格填上1；再把一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為q的數(shù)列{an}依次填入第一列的空格內(nèi)；其它空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫．
第1列 第2列 第3列 … 第n列
第1行 1 1 1 … 1
第2行 q
第3行 q2
… …
第n行 qn-1
（1）設(shè)第2行的數(shù)依次為b1，b2，…，bn，試用n，q表示b1+b2+…+bn的值；
（2）設(shè)第3列的數(shù)依次為c1，c2，c3，…，cn，求證：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)q，c1+c3＞2c2；
（3）能否找到q的值，使得（2）中的數(shù)列c1，c2，c3，…，cn的前m項(xiàng)c1，c2，…，cm（m≥3）成為等比數(shù)列？若能找到，m的值有多少個(gè)？若不能找到，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，又設(shè)Tn=數(shù)學(xué)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，又設(shè)Tn=
Sn
Sn+1
，n=1，2，…．求
lim
n→n
Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第92-93課時(shí)）：第十二章 極限-數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法（解析版） 題型：解答題

設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn，又設(shè)Tn=．

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