Question

9．如圖在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=$\sqrt{2}$，M為AB的中點．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求點B到平面SCM的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AC⊥SB，取AC中點D，連接DS、DB，根據(jù)線面垂直的性質定理可知，只須證AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（Ⅱ）設點B到平面SCM的距離為h，利用等體積法：V_B-SCM=V_S-CMB，即可求得點B到平面SCM的距離．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取AC的中點D，連接DS，DB．
∵SA=SC，BA=BC，
∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，
∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．   
（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，
∴SD⊥平面ABC．
如圖，過D作DE⊥CM于E，連接SE，則SE⊥CM，
∴在Rt△SDE中，SD=1，DE=$\frac{1}{2}$，
∴SE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．CM是邊長為2的正△ABC的中線，∴CM=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△SCM}=\frac{1}{2}CM•SE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
${S}_{△BMC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB•CM=\frac{1}{4}×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設點B到平面SCM的距離為h，
則由V_B-SCM=V_S-BCM得$\frac{1}{3}{S}_{△SCM}•h=\frac{1}{3}{S}_{△BMC}•SD$，
∴$h=\frac{{S}_{△BMC}•SD}{{S}_{△SCM}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查直線與直線，直線與平面，點到平面的距離等基礎知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，屬于中檔題．