【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F，直線y＝4與y軸的交點為P，與拋物線C的交點為Q，且|QF|＝2|PQ|．

(1)求p的值；

(2)已知點T(t，－2)為C上一點，M，N是C上異于點T的兩點，且滿足直線TM和直線TN的斜率之和為，證明直線MN恒過定點，并求出定點的坐標．

【答案】（1）p＝4 （2）證明見解析，定點坐標：(－1，－1)

【解析】

（1）設Q(x0,4)，由拋物線定義，根據(jù)|QF|＝x0＋，解得x0＝，將點Q代入拋物線方程，即可求解；

（2）設直線MN的方程為x＝my＋n，代入拋物線的方程，代入y1＋y2，y1y2，結合斜率公式，求得n＝m－1，代入直線方程，即可求解．

（1）設Q(x0,4)，由拋物線定義，|QF|＝x0＋，

又|QF|＝2|PQ|，即2x0＝x0＋，解得x0＝，

將點Q代入拋物線方程，解得p＝4．

（2）由(1)知C的方程為y2＝8x，所以點T坐標為，

設直線MN的方程為x＝my＋n，點M，N，

由得y2－8my－8n＝0，所以y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n，

所以kMT＋kNT＝＋＝＋

＝＝＝－，

解得n＝m－1，所以直線MN方程為x＋1＝m(y＋1)，

此時直線恒過點(－1，－1)．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將編號為1、2、3、4的四個小球隨機的放入編號為1、2、3、4的四個紙箱中，每個紙箱有且只有一個小球，稱此為一輪“放球”．設一輪“放球”后編號為的紙箱放入的小球編號為，定義吻合度誤差為

(1) 寫出吻合度誤差的可能值集合；

(2) 假設等可能地為1，2，3，4的各種排列，求吻合度誤差的分布列；

(3)某人連續(xù)進行了四輪“放球”，若都滿足，試按(Ⅱ)中的結果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪“放球”相互獨立)；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，e是自然對數(shù)的底，）

（1）討論的單調性；

（2）若，是函數(shù)的零點，是的導函數(shù)，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，曲線C由部分橢圓C1：＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y＝－x2＋1（y≤0）連接而成，C1與C2的公共點為A，B，其中C1所在橢圓的離心率為．

（1）求a，b的值；

（2）過點B的直線l與C1，C2分別交于點P，Q（P，Q，A，B中任意兩點均不重合），若AP⊥AQ，求直線l

的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知項數(shù)為項的有窮數(shù)列，若同時滿足以下三個條件：

，為正整數(shù)；或1，其中，3，，；

任取數(shù)列中的兩項，，剩下的項中一定存在兩項，，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．

若數(shù)列是首項為1，公差為1，項數(shù)為6項的等差數(shù)列，判斷數(shù)列是否是數(shù)列，并說明理由．

當時，設數(shù)列中1出現(xiàn)次，2出現(xiàn)次，3出現(xiàn)次，其中，，．

求證：，，；

當時，求數(shù)列中項數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為的十字形地域，計劃在正方形上建一座花壇，造價為元/；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪上花崗巖地坪，造價為元/；再在四個空角（圖中四個三角形，如）上鋪草坪，造價為元/

（1）設總造價為（單位：元），長為（單位：），試求出關于的函數(shù)關系式，并求出定義域；

（2）當長取何值時，總造價最小，并求出這個最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為：為參數(shù)，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線l的極坐標方程為，．

將圓C的參數(shù)方程化為極坐標方程；

設點A的直角坐標為，射線l與圓C交于點不同于點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的焦距為，短半軸的長為2，過點P(－2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)求弦AB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個結論：

①存在使得是直角三角形；

②存在使得是等邊三角形；

③三條直線上存在四點使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結論的個數(shù)是( )

A.0B.1C.2D.3

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