Question

已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且

cosB

cosC

=

b

2a+c

．
（1）求角B；
（2）若b=

13

，a+c=4，求邊a．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角求出B；
（2）利用余弦定理表示出關(guān)于a與c的關(guān)系式，再由條件聯(lián)立方程求出a、c的值即可．

解答： 解：（1）根據(jù)正弦定理得：

b

2a+c

=

sinB

2sinA+sinC

，
又

cosB

cosC

=

b

2a+c

，所以

cosB

cosC

=

sinB

2sinA+sinC

，
所以sinBcosC=2sinAcosB+cosBsinC，
整理得：2sinAcosB+sin（B+C）=0，又A+B+C=π，即B+C=π-A，
則sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
所以2sinAcosB+sinA=0，又sinA≠0，
所以cosB=-

1

2

，
又0°＜B＜180°，所以B=120°；
（2）根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即a²+c²+ac=b²，
又b=

13

，a+c=4，
所以（a+c）²-ac=13，得ac=3，
由a+c=4、ac=3得，

a=1 c=3

或

a=3 c=1

，
所以a=1或a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及整體代換求值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．