Question

記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1．已知數(shù)列{b_n}滿足b_n-2=3log₃a_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，用n-1代替n得a_n=2S_n-1+1 （n≥2），用兩式相減的方法再化簡，得{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．得出{a_n}和的通項(xiàng)公式，代入b_n-2=3log₃a_n，即可得到{b_n}的通項(xiàng)為b_n=3n-1．
（Ⅱ）c_n表達(dá)式的形式是等差和等比對應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，因此可以用錯(cuò)位相減法求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，即先將等式的兩邊都乘以等比數(shù)列的公比，再將得到的新式子與原式相減，就可以化為利用等比數(shù)列求和公式的方法解出這個(gè)和．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1，得a_n=2S_n-1+1，（n≥2）
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n，（n≥2）
又a₂=2S₁+1，∴a₂=3a₁．
所以{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_n=3^n-1．…（4分）
又∵b_n=3log₃a_n+2=3log₃3^n-1+2=3（n-1）+2=3n-1．
∴b_n=3n-1..…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得c_n=（3n-1）×3^n-1..…（8分）
∴T_n=2×1+5×3¹+8×3²+…+（3n-4）×3^n-2+（3n-1）×3^n-1，…（9分）
3T_n=2×3+5×3²+8×3³+…+（3n-4）×3^n-1+（3n-1）×3ⁿ，
兩式相減，得：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=，
∴…（13分）
應(yīng)改為：-2T_n=2+3×3+3×3²+…+3×3^n-1-（3n-1）×3ⁿ=，
∴…（13分）
點(diǎn)評：此題考查已知數(shù)列的遞推關(guān)系和利用因式分解求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識點(diǎn)，屬于中檔題．準(zhǔn)確運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，利用錯(cuò)位相減法求和，是解決本題的關(guān)鍵．