【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R,且a為常數(shù))
(1)若對于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,若方程f(x)+a+1=0在x∈(0,2]上有且只有一個實根,求a的取值范圍.
【答案】解:(1)∵f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1),
∴f′(x)=2(x﹣1)+a(﹣1)=(x﹣1)(2﹣);
且f(1)=0+a(ln1﹣1+1)=0,
①當(dāng)a≤2時,f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
故f(x)>=f(1)=0;
②當(dāng)a>2時,
可知f(x)在(1,)上是減函數(shù),在(,+∞)上是增函數(shù);
故f()<0;
綜上所述,a≤2;
(2)f(x)+a+1=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1,
當(dāng)a<0時,f(x)+a+1在(0,1]上是減函數(shù),在(1,2]上是增函數(shù);
且((x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1)=+∞,
f(1)+a+1=a+1,f(2)+a+1=1+a(ln2﹣1)+a+1;
故a+1=0或1+a(ln2﹣1)+a+1<0;
故a=﹣1或a<﹣;
當(dāng)a=0時,f(x)+a+1=(x﹣1)2+1>0,故不成立;
當(dāng)0<a<2時,
f(x)+a+1在(0,]上是增函數(shù),在(,1]上是減函數(shù),在(1,2]上是增函數(shù);
且((x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1)=﹣∞,
f(1)+a+1=a+1>0,
故方程f(x)+a+1=0在x∈(0,2]上有且只有一個實根,
當(dāng)a=2時,f(x)+a+1=(x﹣1)2+2(lnx﹣x+1)+2+1=(x﹣1)2+2(lnx﹣x+1)+3,
故f(x)在(0,2]上是增函數(shù);
且((x﹣1)2+2(lnx﹣x+1)+3)=﹣∞,f(1)=3>0;
故方程f(x)+a+1=0在x∈(0,2]上有且只有一個實根,
綜上所述,a<﹣或a=﹣1或0<a≤2.
【解析】(1)求導(dǎo)f′(x)=2(x﹣1)+a(﹣1)=(x﹣1)(2﹣),且f(1)=0+a(ln1﹣1+1)=0,從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性,從而解得;
(2)化簡f(x)+a+1=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)+a+1,從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性,從而解得.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
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【題目】已知向量=(2,0), =(1,4).
(Ⅰ)若向量k+與+2平行,求實數(shù)k的值;
(Ⅱ)若向量k+與+2的夾角為銳角,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】圓x2+y2+2x﹣4y﹣6=0的圓心和半徑分別是( )
A.(﹣1,﹣2),11
B.(﹣1,2),11
C.(﹣1,﹣2),
D.(﹣1,2),
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【題目】已知可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點P(x0 , f(x0))處切線為l:y=g(x)(如圖),設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x),則( 。
A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的極大值點
B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的極小值點
C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)的極值點
D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)的極值點
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【題目】已知圓,過點作直線交圓于兩點,分別過兩點作圓的切線,當(dāng)兩條切線相交于點時,則點的軌跡方程為__________.
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【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.
(1)求的長;
(2)求cos()的值;
(3)求證A1B⊥C1M.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+α)(A>0,ω>0,0<α<π)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,△EFG是邊長為2的等邊三角形,則f(1)的值為 .
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【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(1)求證:AB⊥PC;
(2)求二面角B一PC﹣D的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A(1,1),B(2,0),| |=1.
(1)求 與 夾角;
(2)若 與 垂直,求點C的坐標(biāo);
(3)求| + + |的取值范圍.
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