Question

17．平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)$P（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，圓心為直線$l：ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$與極軸的交點(diǎn)．求：
（1）直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）圓C的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法，可得直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）求出圓心與半徑，可得圓C的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）直線$l：ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，可化為$l：\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$；
（2）∵圓C圓心為直線$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$與極軸的交點(diǎn)，
∴在$ρsin（{θ-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$中令θ=0，得ρ=1．
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（1，0）．
∵圓C經(jīng)過點(diǎn)$P（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$，
∴圓C的半徑為$PC=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}-2×1×\sqrt{2}cos\frac{π}{4}}=1$．
∴圓C經(jīng)過極點(diǎn)．
∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、圓的極坐標(biāo)方程，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．