Question

12．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱DD₁和AB上的點，則下列說法中正確的是②③④（填上所有正確命題的序號）
①A₁C⊥平面B₁EF；
②在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
③△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
④當E，F(xiàn)分別是DD₁和AB的中點時，EF與平面BCC₁B₁所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 利用正方體的特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關系，對各項進行依次判斷即可．

解答 解：對于①：A₁C⊥平面B₁EF；不一定成立，A₁C垂直平面AC₁D，而平面B₁EF與平面AC₁D不一定平行．故①不對．
對于②：在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；因為這個兩個平面是相交的，一個平面平行與兩個平面的交線的一定平行與另一個平面，因此該結論正確．故②對．
對于③：△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形．因為其投影是三角形的一邊是棱BB₁，E點的投影總落在CC₁到棱BB₁的長度是不變的，故而正投影是三角形面積為定值的．故③對．
對于④：當E，F(xiàn)分別是DD₁和AB的中點時，EF與平面BCC₁B₁所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．EF與平面BCC₁B₁所成角等于EF與DAA₁D₁所成角，連接AE，F(xiàn)A⊥DAA₁D₁，則∠FEA為EF與DAA₁D₁所成角．tan∠FEA$\frac{AF}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．故④對．

故答案為：②③④．

點評 本題考查了正方體的幾何特征，以及線面，面面之間的位置關系，垂直關系的判斷，直線與平面所成的角．是一道綜合題，屬于中檔題．