Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-12x+c是定義在R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求c的值及函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）．
即-2x³+12x+c=-2x³+12x-c．解得c=0．…（2分）
因?yàn)閒'（x）=6x²-12，所以切線的斜率k=f'（1）=-6．…（3分）
因?yàn)閒（1）=-10，所以切點(diǎn)為（1，-10）．…（4分）
所以切線方程為y+10=-6（x-1）．…（5分）
即6x+y+4=0．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=6x²-12．
所以f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)．…（8分）
列表如下：

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

…（11分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)．
因?yàn)閒（-1）=10，f(

2

)=-8

2

，f（3）=18．
所以f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f(

2

)=-8

2

．…（13分）