Question

12．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD一A′B′C′D′中，點(diǎn)P，Q分別是棱BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，BC=4，CD=3，CC′=2$\sqrt{3}$，直線CC′與平面PQC′所成的角為30°，則△PQC′的面積的最小值是（　�。�

• A． $\frac{18\sqrt{5}}{5}$
• B． 8
• C． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
• D． 10

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量$\overrightarrow{n}$，則cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CC′}$＞=$\frac{1}{2}$，解出a，b的關(guān)系式，得出△PQC的最小值，又C到平面PQC′的距離為$\sqrt{3}$，利用等體積法求出△PQC′的面積最小值．

解答 解：以C為原點(diǎn)，以CD，CB，CC′為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則C（0，0，0），C′（0，0，2$\sqrt{3}$）．設(shè)P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．
∴$\overrightarrow{QC′}$=（-b，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC′}$=（0，-a，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CC′}$=（0，0，2$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PQC′的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC′}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{QC′}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-ay+2\sqrt{3}z=0}\\{-bx+2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2\sqrt{3}}$，$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CC′}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{CC′}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{\frac{12}{^{2}}+\frac{12}{{a}^{2}}+1}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CC′}$＞=$\frac{1}{\sqrt{\frac{12}{^{2}}+\frac{12}{{a}^{2}}+1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{12}{{a}^{2}}+\frac{12}{^{2}}=3$，∴a²+b²=$\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}$≥2ab，解得ab≥8．
∴當(dāng)ab=8時(shí)，S_△PQC=4，棱錐C′-PQC的體積最小，
∵直線CC′與平面PQC′所成的角為30°，∴C到平面PQC′的距離d=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵V_C′-PQC=V_C-PQC′，
∴$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△PQC′}×\sqrt{3}$，∴S_△PQC′=8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題你考查了線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，基本不等式，屬于中檔題．