Question

甲船在A處觀察乙船，乙船在B處，在甲的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍． 求：
（1）甲船應(yīng)朝什么方向行駛，才能在最短時(shí)間內(nèi)追上乙船；
（2）甲船追上乙船時(shí)，甲船行駛了多少海里？

Answer 1

解：（1）如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v，
則BC=tv，AC=tv，B=120°，（2分）
由正弦定理知，（4分）
∴，
∴sin∠CAB=，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴甲追擊的方向是北偏東30⁰．（8分）
（2）BC=AB=a，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos 120°=a²+a²-2a²•=3a²，∴AC=a．
∴甲追上乙船時(shí)，甲行駛了a 海里．
∴甲追擊的方向是北偏東30⁰．甲追上乙船時(shí)，甲行駛了a 海里． （14分）
分析：（1）由題意及方位角的定義畫(huà)出簡(jiǎn)圖，設(shè)到C點(diǎn)甲船上乙船，乙到C地用的時(shí)間為t，乙船速度為v，則BC=tv，AC=tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理，可求甲追擊的方向；
（2）在△ABC中，利用余弦定理即可求解甲船追上乙船時(shí)，甲船行駛的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查正余弦定理在解三角形中的運(yùn)用，考查學(xué)生對(duì)方位角的概念的理解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．