Question

方程

3

sin2x+cos2x=2k-1，x∈[0，π]有兩個不等根，則實數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• B、（-

  1

  2

  ，1）∪（1，

  3

  2

  ）
• C、[-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• D、[-

  1

  2

  ，1）∪（1，

  3

  2

  ]

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：數(shù)形結(jié)合,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：把已知等式左邊提取2后，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，畫出此時正弦函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)值y對應的x有兩個不同的值，由圖象得出滿足題意的正弦函數(shù)的值域，列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．

解答： 解：cos2x+

3

sin2x=2k-1，
得2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=2k-1，即2sin（2x+

π

6

）=2k-1，
可得：sin（2x+

π

6

）=

2k-1

2

=k-

1

2

，
由0≤x≤π，得

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，
∵y=sin（2x+

π

6

）在x∈[0，π]上的圖象形狀如圖，

∴當

1

2

＜k-

1

2

＜1時，-1＜k-

1

2

＜

1

2

時方程有兩個不同的根，
解得：1＜k＜

3

2

，-

1

2

＜k＜1．
故選：B．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題的思路為：利用三角函數(shù)的恒等變形把已知等式的左邊化為一個正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來解決問題．