Question

10．定義$（{\begin{array}{l}{{x_{n+1}}}\\{{y_{n+1}}}\end{array}}）$=$（{\begin{array}{l}1&0\\ 1&1\end{array}}）（{\begin{array}{l}{x_n}\\{{y_n}}\end{array}}）$為向量$\overrightarrow{O{P_n}}$=（x_n，y_n）到向量$\overrightarrow{O{P_{n+1}}}$=（x_n+1，y_n+1）的一個矩陣變換，其中O是坐標原點，n∈N^*，已知$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），則$\overrightarrow{O{P_{2016}}}$的坐標為（2，4030）．

Answer 1

分析 先利用矩陣與向量乘法運算，得出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，由$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），可得y_n+1-y_n=2，向量的橫坐標不變，縱坐標構成以0為首項，2為公差的等差數(shù)列，進而可求向量的坐標．

解答 解：由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={x}_{n}+{y}_{n}}\end{array}\right.$，
∴y_n+1-y_n=x_n，x_n=x₁，
由$\overrightarrow{O{P_1}}$=（2，0），
y_n+1-y_n=2，
向量的橫坐標不變，縱坐標構成以0為首項，2為公差的等差數(shù)列，
y_n=2（n-1），
∴y₂₀₁₆=2×2015=4030，
$\overrightarrow{O{P_{2016}}}$的坐標（2，4030），
故答案為：（2，4030）．

點評 本題的考點是矩陣與向量乘法的意義，考查等差數(shù)列通項公式，屬于中檔題．