【題目】已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲線(xiàn)y=f(x)在x=0處的切線(xiàn)的斜率為3,求a的值;
(Ⅱ)若對(duì)于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a),
記h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
【答案】(1)a=(2)(-∞,-1-].(3)
【解析】試題分析:(1)求出,由可得結(jié)果;(2)對(duì)于任意恒成立等價(jià)于,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求得,從而可得結(jié)果;(3)分三種情況討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng)分別求出的最小值,再比較大小即可得結(jié)果.
試題解析:解:(1)因?yàn)?/span>f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,
所以曲線(xiàn)y=f(x)在x=0處的切線(xiàn)斜率k=f ′(0)=6a,
所以6a=3,所以a=.
(2)f(x)+f(-x)=-6(a+1)x2≥12lnx對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以-(a+1)≥.
令g(x)=,x>0,則g(x)=.
令g(x)=0,解得x=.
當(dāng)x∈(0, )時(shí),g(x)>0,所以g(x)在(0, )上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),g(x)<0,所以g(x)在(,+∞)上單調(diào)遞減.
所以g(x)max=g()=,
所以-(a+1)≥,即a≤-1-,
所以a的取值范圍為(-∞,-1-].
(3)因?yàn)?/span>f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,
所以f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),f(1)=3a-1,f(2)=4.
令f ′(x)=0,則x=1或a.
f(1)=3a-1,f(2)=4.
①當(dāng)1<a≤時(shí),
當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(a,2)時(shí),f (x)>0,所以f(x)在(a,2)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>f(1)≤f(2),所以M(a)=f(2)=4,m(a)=f(a)=-a3+3a2,
所以h(a)=M(a)-m(a)=4-(-a3+3a2)=a3-3a2+4.
因?yàn)?/span>h (a)=3a2-6a=3a(a-2)<0,
所以h(a)在(1, ]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)a∈(1, ]時(shí),h(a)最小值為h()=.
②當(dāng)<a<2時(shí),
當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(a,2)時(shí),f (x)>0,所以f(x)在(a,2)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)?/span>f(1)>f(2),所以M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(a)=-a3+3a2,
所以h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-(-a3+3a2)=a3-3a2+3a-1.
因?yàn)?/span>h (a)=3a2-6a+3=3(a-1)2≥0.
所以h(a)在(,2)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)a∈(,2)時(shí),h(a)>h()=.
③當(dāng)a≥2時(shí),
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f (x)<0,所以f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,
所以M(a)=f(1)=3a-1,m(a)=f(2)=4,
所以h(a)=M(a)-m(a)=3a-1-4=3a-5,
所以h(a)在[2,+∞)上的最小值為h(2)=1.
綜上,h(a)的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位共有老、中、青職工430人,其中青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍.為了解職工身體狀況,現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中的老年職工人數(shù)為( )
A.9
B.18
C.27
D.36
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1 (I)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列;
(II)設(shè)cn=n(an+1),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中,從男生中隨機(jī)抽取了70人,從女生中隨機(jī)抽取了50人,男生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,女生中喜歡數(shù)學(xué)課程的占,得到如下列聯(lián)表.
喜歡數(shù)學(xué)課程 | 不喜歡數(shù)學(xué)課程 | 合計(jì) | ||||||||
男生 | ||||||||||
女生 | ||||||||||
合計(jì) | ||||||||||
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | ||||
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | ||||
(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;試判斷能否有90%的把握認(rèn)為喜歡數(shù)學(xué)課程與否與性別有關(guān);
(2)從不喜歡數(shù)學(xué)課程的學(xué)生中采用分層抽樣的方法,隨機(jī)抽取6人,現(xiàn)從6人中隨機(jī)抽取2人,若所選2名學(xué)生中的女生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為1?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,a2=4(a3﹣a4),數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=3﹣2log2an .
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若λ>0,求對(duì)所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)當(dāng)a≥2時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意a∈(2,3)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有ma+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), , 為實(shí)數(shù).
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為12,求的值;
(2)若在區(qū)間上的最小值,最大值分別為 ,1,且,求函數(shù)的解析式.
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