【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=4(a3﹣a4),數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣2log2an .
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若λ>0,求對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立的k的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a1=2,a2=4(a3﹣a4),
∴a2=4a2(q﹣q2),化為:4q2﹣4q+1=0,解得q= .
∴an= =22﹣n.
∴bn=3﹣2log2an=3﹣2(2﹣n)=2n﹣1
(2)解:cn= = = .
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn= [2+322+5×23+…+(2n﹣1)2n],
∴2Sn= [22+323+…+(2n﹣3)2n+(2n﹣1)2n+1],
∴﹣Sn= = ,
可得:Sn=
(3)解:不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn,即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n(2n﹣1),
令dn=22﹣2n(2n﹣1),則dn+1﹣dn= ﹣ = = <0,
因此dn+1<dn,即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減,因此n=1時dn取得最大值d1=1.
∵對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,
∴2λ2﹣kλ+2>1,∵λ>0.
∴k<2 ,∵2 ≥2 =2 ,當(dāng)且僅當(dāng)λ= 時取等號.
∴ .
即k的取值范圍是
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,根據(jù)a1=2,a2=4(a3﹣a4),可得a2=4a2(q﹣q2),化簡解得q.可得an . 利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得bn . (2)cn= = = .利用錯位相減法與等比數(shù)列的求和公式即可得出.(3)不等式2λ2﹣kλ+2>a2nbn , 即2λ2﹣kλ+2>22﹣2n(2n﹣1),令dn=22﹣2n(2n﹣1),通過作差可得:dn+1<dn , 即數(shù)列{dn}單調(diào)遞減,因此n=1時dn取得最大值d1=1.根據(jù)對所有的正整數(shù)n都有2λ2﹣kλ+2>a2nbn成立,可得2λ2﹣kλ+2>1,根據(jù)λ>0.可得k<2 ,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某保險公司研究一款暢銷保險產(chǎn)品的保費(fèi)與銷量之間的關(guān)系,根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn),若每份保單的保費(fèi)在元的基礎(chǔ)上每增加元,對應(yīng)的銷量(萬份)與(元)有較強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系,從歷史銷售記錄中抽樣得到如下組與的對應(yīng)數(shù)據(jù):
(1)試據(jù)此求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若把回歸方程當(dāng)做與的線性關(guān)系,試計算每份保單的保費(fèi)定為多少元此產(chǎn)品的保費(fèi)總收入最大,并求出該最大值;
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(2,4),B(﹣1,2),C,D為動點(diǎn),
(1)若C(3,1),求平行四邊形ABCD的兩條對角線的長度
(2)若C(a,b),且 ,求 取得最小值時a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,R是△ABC的外接圓半徑,有下列四個條件: ①(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab
②sinA=2cosBsinC
③b=acosC,c=acosB
④
有兩個結(jié)論:甲:△ABC是等邊三角形.乙:△ABC是等腰直角三角形.
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件,兩個結(jié)論中的一個為結(jié)論,寫出一個你認(rèn)為正確的命題 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲線y=f(x)在x=0處的切線的斜率為3,求a的值;
(Ⅱ)若對于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>1,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值、最小值分別為M(a)、m(a),
記h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ax3+3x2﹣x+1,a∈R.
(1)當(dāng)a=﹣3時,求證:f(x)=在R上是減函數(shù);
(2)如果對x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行,且在處取得極小值.設(shè).
(1)若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為,求的值;
(2)如何取值時,函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).
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【題目】在以下關(guān)于向量的命題中,不正確的是( )
A.若向量 ,向量 (xy≠0),則
B.若四邊形ABCD為菱形,則
C.點(diǎn)G是△ABC的重心,則
D.△ABC中, 和 的夾角等于A
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