Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），且在[0，2]上單調(diào)，若存在x∈（0，2）使f（x）=0，則方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于    ．

Answer 1

【答案】分析：利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又因為偶函數(shù)在[0，2]上單調(diào)，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，可得在x∈[2002，2006]上兩根之和及在x∈[2006，2010]上兩根之和，從而得解．
解答：解：由題意，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)以4為周期，
∵偶函數(shù)在[0，2]上單調(diào)，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，
∴在x∈[2002，2006]上兩根之和為2004×2=4008，
在x∈[2006，2010]上兩根之和為2008×2=4016，
∴方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于4008+4016=8024
故答案為8024．
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的周期性，主要考查函數(shù)的周期，函數(shù)的零點(diǎn)，關(guān)鍵是利用條件f（x+2）=-f（x），判斷出函數(shù)的周期，利用函數(shù)在[0，2]上單調(diào)，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，從而研究方程根問題．