Question

已知函數(shù) ．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，問(wèn)： 在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總存在極值？
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上至少存在一個(gè)，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（Ι）由知：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；………………4分
（Ⅱ）由得
∴，.             ………………………5分

∴,
∵ 函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，
∴有兩個(gè)不等實(shí)根且至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)…………6分
又∵函數(shù)是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，且，∴                                          …………7分
由，∵在上單調(diào)遞減，
所以；∴，由，解得；
綜上得： 所以當(dāng)在內(nèi)取值時(shí)，對(duì)于任意，函數(shù)，在區(qū)間上總存在極值 。                                                …………8分
（Ⅲ）令，則
.
1. 當(dāng)時(shí)，由得，從而,
所以，在上不存在使得；…………………10分
2. 當(dāng)時(shí)，,
在上恒成立，故在上單調(diào)遞增。
故只要，解得     
綜上所述，的取值范圍是…………………12分

略