Question

14．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8cosθ+6sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=-1，求直線l與圓C的所有公共點(diǎn)；
（2）若直線l與圓C相交，截得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=-1時(shí)，直線l：y=x+1由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得圓C：（x-4）²+（y-3）²=25，聯(lián)立方程組能求出直線l與圓C的所有公共點(diǎn)．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為：ax+y-1=0，求出弦心距，由勾股定理能求出結(jié)果．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，直線l：y=x+1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得圓C：（x-4）²+（y-3）²=25，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{（x-4）}^{2}{+（y-3）}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6+\sqrt{46}}{2}}\\{y=\frac{8+\sqrt{46}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6-\sqrt{46}}{2}}\\{y=\frac{8-\sqrt{46}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線l與圓C的所有公共點(diǎn)為（$\frac{6+\sqrt{46}}{2}$，$\frac{8+\sqrt{46}}{2}$）和（$\frac{6-\sqrt{46}}{2}$，$\frac{8-\sqrt{46}}{2}$）．
（2）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=at+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a為實(shí)常數(shù)）消去參數(shù)t，
得直線l的直角坐標(biāo)方程為：ax+y-1=0，
如圖，弦心距d=$\frac{|4a-3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|4a-2|}{\sqrt{2}}$，
由勾股定理得：$（\frac{|4a-2|}{\sqrt{2}}）^{2}+（\sqrt{7}）^{2}=25$
解得a=2或a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．