Question

【題目】已知點F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點F作斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，與準線交于點P，設(shè)點D為拋物線準線與x軸的交點．

（1）若k＝﹣1，求△DAB的面積；

（2）若λ，μ，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）證明見解析，定值為0

【解析】

（1）由直線與拋物線聯(lián)立得，根據(jù)，求得點到直線的距離，進而求得三角形的面積，得到答案；

（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合λ，μ，得到λ，，進而求得為定值，得到答案.

（1）由F的坐標分別為（1，0），直線PF的斜率為1，

所以直線PF的方程為y＝﹣（x﹣1），

設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

由直線與拋物線聯(lián)立得x2﹣6x+1＝0，

所以x1+x2＝6，x1x2＝1．

于是|AB|＝x1+x2+2＝8．

點D到直線x+y﹣1＝0的距離d，

所以S4；

（2）證明：設(shè)直線l：y＝k（x﹣1）．則P（﹣1，﹣2k），

聯(lián)立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，

，

∵λ，μ，

所以（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，﹣2k﹣y1）＝μ（x2+1，y2+2k），

∴λ，．

∴λ+μ（定值）．