Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，且當直線斜率為2時，．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點作拋物線的兩條弦與，問在軸上是否存在一定點，使得直線過點時，為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，定點

【解析】

（1）設，，由已知可得，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，消去，得到關于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，即可求解；

（2）假設在軸上存在點滿足條件，設，，，利用的坐標關系可得，，將問題轉(zhuǎn)化為關系，設出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，即可求解.

解：（1）設，，

∵當直線斜率為2時，，∴， ①

設直線方程為，

聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得，

∴，代入①式得，

∴拋物線方程為．

（2）假設在軸上存在點，使得直線過點時，為定值．

設，，，

則，

、在拋物線上，則有，，

∴

， ②

設直線方程，

聯(lián)立直線方程與拋物線方程，

得，∴，，

代入②式得．

∵為定值，∴，

即，且，

∴存在定點，使得直線過點時，為定值．