Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的極大值；

（2）討論的單調(diào)區(qū)間；

（3）對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞,a－2)，(a,＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a－2,a)；（3）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為零，討論函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性求得極大值；

（2）求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)數(shù)分解因式，列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（3）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，考慮每種情況下函數(shù)在區(qū)間上的最值，根據(jù)不等式恒成立，求得參數(shù)的取值范圍.

（1）時(shí)，

則，

令解得或.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

所以時(shí)，有極大值，

極大值為

（2）f(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a) [x－(a－2)]ex．

令f(x)＝0，．

當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化如下：

x	(－∞,a－2)	a－2	(a－2,a)	a	(a,＋∞)
f(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a－2，a)．

（3）由（2）得f(x)的極大值為f(a－2)＝4ea－2．

（i）當(dāng)a≤1時(shí)，

f(x)在(－∞,1]上的最大值為f(a－2)或f(1)，

即可得，且，

解得，且，

結(jié)合，

解得滿足題意的；

（ii）當(dāng) 即時(shí)，

f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)

此時(shí)f(a－2)滿足題意，

故.

（iii）當(dāng)時(shí)，即，

的最大值為，

又，

故不恒成立

綜上，的取值范圍是