Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若的定義域，值域都是，求的值；

（2）當時，討論在區(qū)間上的值域.

Answer 1

【答案】（1）實數(shù)不存在在；（2）當時，值域為：；

當，值域為；

當時，值域為：.

【解析】

（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，結(jié)合已知和一元二次不等式解集的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可；

（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合所給的區(qū)間，分類討論進行求解即可.

（1）因為的定義域是，所以在實數(shù)集上恒成立，故一元二次方程的根的判別式；

的值域是，說明能取遍所有的正實數(shù)，因此一元二次方程的根的判別式，顯然這與剛得到矛盾，故不存在這樣的實數(shù)；

（2）因為，所以，函數(shù)的定義域為不等于1的全體實數(shù)，故區(qū)間的右端點不能等于1，即且，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為：，因此函數(shù)的值域為：；

當，函數(shù)沒有單調(diào)性，故函數(shù)的最大值為，而，所以函數(shù)的值域為；

當時，函數(shù)的最大值為：，而，所以函數(shù)的值域為：

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