【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列
(1)若sinC=2sinA,求cosB的值;
(2)求角B的最大值.并判斷此時(shí)△ABC的形狀.

【答案】
(1)解:sinC=2sinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得:c=2a,

∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac=2a2,即b= a,

∴cosB= = = ;


(2)解:∵b2=ac,

∴cosB= = = ,

∵函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π]上為減函數(shù),

∴B∈(0, ],即角B的最大值為 ,

此時(shí)有a=c,且b2=ac,可得a=b=c,

則△ABC為等邊三角形.


【解析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式,得到c=2a,再有a,b,c成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式,利用余弦定理表示出cosB,將得出的關(guān)系式代入計(jì)算即可求出值;(2)由表示出的cosB,將b2=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值,由余弦函數(shù)在[0,π]上為減函數(shù),確定出B的最大值,由此時(shí)a=c及b2=ac,得出三角形ABC為等邊三角形.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí),掌握正弦定理:

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