Question

已知等差數(shù)列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若將數(shù)列{a_n}的項重新組合，得到新數(shù)列{b_n}，具體方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此類推，第n項b_n由相應(yīng)的{a_n}中2^n-1項的和組成，求數(shù)列{b_n-

1

4

•2n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1＞a_n，結(jié)合a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求a₂，a₉，進而可求公差d，即可求解通項
（Ⅱ）由題意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求b_n，即可求解

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1＞a_n，可得公差d＞0
∵a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37
∴a₉＞a₂
∴

a2=8 a9=29

設(shè)公差為d，則d=

a9-a2

9-2

=

29-8

9-2

=3
∴a_n=a₂+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）
（Ⅱ）由題意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，
=（3•2^n-1+2）+（3•2^n-1+5）+（3•2^n-1+8）+…+[3•2^n-1+（3•2^n-1-1）]
=2^n-1×3•2^n-1+[2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）]…（6分）
而2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1+1）是首項為2，公差為3的等差數(shù)列的2^n-1項的和，
所以2+5+8+…++（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）=2n-1×2+

2n-1(2n-1-1)

2

×3
=3•22n-3+

2n

4

所以bn=3•22n-2+3•22n-3+

2n

4

…（10分）
所以bn-

1

4

•2n=

9

8

•22n
所以Tn=

9(4+16+64+…+22n)

8

=

9

8

×

4(1-4n)

1-4

=

3(4n-1)

2

…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是得到方程組，通過解方程組得到數(shù)列的項，求出公差，寫出通項，及分組求和方法的應(yīng)用