Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．

（1）確定與的關(guān)系；

（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）證明：對任意，都有成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當(dāng)時，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

（3）可以利用放縮不等式證明也可以構(gòu)造新數(shù)列利用數(shù)列的性質(zhì)證明還可以構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明

【解析】

試題分析：（1）依題意得，則

由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：

∴                                                        ……3分

（2）由（1）得               ……4分

∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051114301534982218/SYS201305111430549905167381_DA.files/image010.png">

∴當(dāng)時，在上恒成立，

由得，由得，

即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；                      ……5分

當(dāng)時，令得或，

若，即時，

由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；          ……6分

若，即時，

由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；          ……7分

若，即時，在上恒有，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，                                     ……8分

綜上得：當(dāng)時，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

……9分

（3）證法一：由（2）知當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，       ……11分

令，則，                             ……12分

即           ……14分

【證法二：構(gòu)造數(shù)列，使其前項(xiàng)和，

則當(dāng)時，，     ……11分

顯然也滿足該式，

故只需證          ……12分

令，即證，記，

則，

在上單調(diào)遞增，故，

∴成立，

即．                                             ……14分】

【證法三：令，

則

                                         ……10分

令則，

記                        ……12分

∵∴函數(shù)在單調(diào)遞增，

又即，

∴數(shù)列單調(diào)遞增，又，∴            ……14分】

考點(diǎn)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和不等式的證明.

點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，研究函數(shù)時，首先要看函數(shù)的定義域，求單調(diào)區(qū)間、極值、最值時，往往離不開分類討論，主要考查學(xué)生的分類討論思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力.