若在曲線f(x,y)=0上兩個不同點處的切線重合,則稱這條切線為曲線f(x,y)=0的“自公切線”.下列方程:
①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx; 
|x|+1=
4-y2

對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有
②③
②③
分析:①x2-y2=1 是一個等軸雙曲線,沒有自公切線;
②在 x=
1
2
 和 x=-
1
2
 處的切線都是y=-
1
4
,故②有自公切線.
③此函數(shù)是周期函數(shù),過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線.
④結(jié)合圖象可得,此曲線沒有自公切線.
解答:解:①x2-y2=1 是一個等軸雙曲線,沒有自公切線;
②y=x2-|x|=
(x-
1
2
)2-
1
4
(x+
1
2
)2-
1
4
,在 x=
1
2
 和 x=-
1
2
 處的切線都是y=-
1
4
,故②有自公切線.
③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ=
3
5
,sinφ=
4
5
,此函數(shù)是周期函數(shù),過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線.
④由于|x|+1=
4-y2
,即 x2+2|x|+y2-3=0,結(jié)合圖象可得,此曲線沒有自公切線.
故答案為②③.
點評:正確理解新定義“自公切線”,正確畫出函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵.
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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
4-
y
2
 

對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有( 。

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若在曲線f(x,y)=0(或y=f(x))上兩個不同點處的切線重合,則稱這條切線為曲線線f(x,y)=0(或y=f(x))的自公切線,下列方程的曲線:①x2-y2=1;②y=3sinx+4cosx;③y=x2-|x|;④|x|+1=
4-y2
,存在自公切線的是( 。
A、①③B、①④C、②③D、②④

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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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①x2-y2=1;
②y=x2-|x|;
③y=3sinx+4cosx;
④|x|+1=
對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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