Question

若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，且a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則a₄=（　�。�

• A、

  1

  12

• B、

  1

  20

• C、

  1

  30

• D、

  1

  16

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出

an

an-1

=

n-1

n+1

，利用累乘法求出a_n=

1

n(n+1)

，由此能求出a₄．

解答：解：∵a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，n≥2
兩式相減，得：a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
∴

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴a_n=

an

an-1

×

an-1

an-2

×

an-2

an-3

×…×

a2

a1

×a1
=

n-1

n+1

×

n-2

n

×

n-3

n-1

×

n-4

n-2

×…×

3

5

×

2

4

×

1

3

×

1

2

=

1

n(n+1)

，
∴a₄=

1

4×5

=

1

20

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的第4項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累乘法的合理運(yùn)用．